求和 | math

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for(int i = 1;i <= n;i++) <- good!我明白了

“”这是是个什么东西呢，今天我们就来讲一讲相关于的东西

正文：

一、什么是西格玛符号（Σ）？

Σ 是希腊字母表的第 18 个字母，在数学中表示求和（Sum）。 它就像一个 “累加器”，把一系列数按照规则加起来。

二、西格玛符号的基本结构

\(\sum_{i=a}^{b} f(i)\)

Σ：求和符号（读作 “西格玛”）i：计数器（类似 “步数”）a：起始值（从哪开始加）b：终止值（加到哪结束）f(i)：每一步的计算规则

三、用 “存钱罐” 比喻理解西格玛

场景：你每天往存钱罐里存钱，连续存 5 天：

第 1 天：存 1 元第 2 天：存 2 元第 3 天：存 3 元第 4 天：存 4 元第 5 天：存 5 元

数学表示：\(\sum_{i=1}^{5} i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)

比喻：

i：天数（从 1 到 5）i：每天存的钱数（第 i 天存 i 元）Σ：把每天存的钱累加起来

四、常见西格玛公式详解

1. 自然数求和

\(\sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}\) 例子： 当 \(n = 10\) 时，\(\sum_{i=1}^{10} i = 1 + 2 + \dots + 10 = \frac{10 \times 11}{2} = 55\)

生活应用： 计算 10 层楼梯的总台阶数（第 1 层 1 阶，第 2 层 2 阶，以此类推）。

2. 常数求和

\(\sum_{i=1}^{n} c = c \times n\) 例子： 每天固定存 5 元，存 10 天，总金额为：\(\sum_{i=1}^{10} 5 = 5 \times 10 = 50\)

生活应用： 计算一个月（30 天）每天花 3 元买水的总开销。

3. 平方和公式

\(\sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\) 例子： 计算前 5 个自然数的平方和：\(\sum_{i=1}^{5} i^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 = \frac{5 \times 6 \times 11}{6} = 55\)

五、多重西格玛：用 “超市购物” 理解

场景：你去超市买水果，买 3 天，每天买 2 种：

第 1 天：苹果（5 元）、香蕉（3 元） → 共 8 元第 2 天：苹果（5 元）、橘子（4 元） → 共 9 元第 3 天：香蕉（3 元）、橘子（4 元） → 共 7 元

数学表示：\(\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{2} \text{水果价格}_{i,j} = 8 + 9 + 7 = 24\)

分步拆解：

内层求和（每天的花费）：\(\sum_{j=1}^{2} \text{水果价格}_{i,j}\)

\(j=1\)：第 1 种水果\(j=2\)：第 2 种水果

外层求和（3 天的总花费）：\(\sum_{i=1}^{3} \left( \text{第}i\text{天的花费} \right)\)

六、易错点提醒

1. 上下标范围错误

错误例子： 计算前 5 个自然数的和时，错误写成：\(\sum_{i=0}^{5} i = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 \quad (\text{多了}0)\) 正确写法：\(\sum_{i=1}^{5} i = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15\)

2. 变量名重复

错误例子： 双重求和中内外层变量名重复：\(\sum_{i=1}^{3} \sum_{i=1}^{2} i \quad (\text{错误！变量名冲突})\) 正确写法：\(\sum_{i=1}^{3} \sum_{j=1}^{2} i \cdot j \quad (\text{外层用}i\text{，内层用}j)\)

七、生活中的西格玛实例

计算班级总分： 假设有 5 个学生，分数分别为 85, 90, 78, 92, 88，总分：\(\sum_{i=1}^{5} \text{分数}_i = 85 + 90 + 78 + 92 + 88 = 433\)

计算旅行总费用： 每天花费为：

第 1 天：200 元第 2 天：350 元第 3 天：180 元 总费用：\(\sum_{i=1}^{3} \text{费用}_i = 200 + 350 + 180 = 730 \text{元}\)

八、总结

西格玛符号（Σ）就是一个 “累加器”，核心要素是：

起始值（从哪开始加）终止值（加到哪结束）每一步的计算规则

恭喜你，今天又学会了一个新的数学符号